Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
FISA DISCIPLINEI
| MMA1017 | Teme de analiză matematică II (pentru perfecţionarea profesorilor) |
| Titularii de disciplina |
Prof. Dr. MURESAN Marian, mmarian math.ubbcluj.ro |
| Obiective |
|
Aprofundarea şi completarea cunoştinţelor de calcul diferenţial pentru funcţii de una şi mai multe variabile cu deschidere spre anumite elemente de calcul diferenţial pentru aplicaţii neliniare definite între spaţii liniare normate. |
| Continutul |
|
I) Definiţia diferenţialei Fréchet a unei aplicaţii neliniare între spaţii liniare normate. Proprietăţi diverse. Numerele derivite ale lui Dini. Funcţii continue care nu admit derivată în nici un punct. Generalizări ale teoremelor de medie clasice ale calculului diferenţial. Teorema de medie a lui Danjoy-Bourbaki. Proprietăţi ale punctului intermediar din diferitele teoreme de medie. Aplicaţii ale teoremelor de medie la demonstrarea în demonstrarea diferitelor inegalilăţi şi în studiul punctelor de extrem (optim) ale funcţiilor. Derivate şi diferenţiale de ordin superior a unei funcţii reale şi a unei aplicaţii neliniare. Stabilirea unor formule pentru derivata de ordinul n a produsului de funcţii. Exerciţii de calcul de derivate de ordinul n pentru diferite funcţii. Unele aspecte speciale legate de formula lui Taylor. Formula lui Taylor pentru aplicaţii neliniare şi anumite aplicaţii ale ei. Calculul unor limite de şiruri şi de Legătura dintre funcţiile trigonometrice şi cele hiperbolice.Relaţii remarcabile. funcţii folosind formula lui Taylor şi dezvoltările în serii Taylor.
II) Mulţimea funcţiilor care admit primitive şi raportarea acestei mulţimi la mulţimea funcţiilor continue şi la mulţimea funcţiilor cu proprietatea lui Darboux. Primitive generalizate. III) Metode de aproximare ale soluţiilor unor ecuaţii în mulţimea numerelor reale. Metoda interpolării inverse. Separarea rădăcinilor unei ecuaţii polinomiale şi calculul aproximantelor acestor rădăcini până la verificarea unui criteriu de eroare. Metoda lui Newton pentru ecuaţii în mulţiumea numerelor reale. Existenţa, unicitatea şi aproximarea soluţiei. Exemplu concret de aproximare a rădăcinii unei ecuaţii prin metoda lui Newton. Teoremele de convergenţă. Noţiunea de ordin de convergenţă şi stabilirea lui în cazul metodei lui Newton, a metodei coardei şi a metodei lui Steffensen. Estimări ale ordinului de convergenţă al metodei care se obţine prin interpolare inversă. IV) Extreme şi extreme condiţionate pentru funcţii şi funcţionale. Extreme concrete de determinare a unor exteme. Aplicaţii diverse a metodei multiplicatorilor lui Lagrange. Probleme de determinare a unor funcţii care verifică anumite condiţii. V) Definiţia funcţiei exponenţiale cu ajutorul limitelor de şiruri. Demonstraţia unor proprietăţi ale funcţiei exponenţiale din cele prezentate la curs. Funcţii care se definesc cu ajutorul funcţiei exponenţiale (funcţia logaritmică, funcţia putere şi compuse ale lor. Funcţiile hiperbolice. Proprietăţi şi aplicaţii. Funcţia exponenţială de variabilă complexă. Funcţiile trigonometrice şi inversele lor. Formule asimpltotice. Introducerea numărului π şi proprietăţi ale funcţiilor trigonometrice în legătură cu numărul π. Ecuaţii funcţionale remarcabile şi soluţii ale acestora. Legătura cu funcţiile elementare definite. |
| Bibliografie |
|
[1] MARUSCIAC, I., Analiză matematică, vol. I-II, UBB Cluj-Napoca,1973.
[2] COLOJOARĂ, I., Analiză matematică, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1984. [3] NICOLESCU, M., DINCULEANU, N,. MARCUS, S., Manual de analiză matematică, vol. I-II, Editura didactică şi pedagogică , Bucureşti, 1964. [4] BOBOC, N., Analiză matematică, Univ., Bucureşti, 1988. [5] MEGAN, M., Analiză matematică, vol. 1-2, Mirton, Timişoara, 1999. [6] MURESAN, M., A Concrete Approach to Mathematical Analysis, Springer, New York, 2009. [7] PĂVĂLOIU, I., POP, N., Interpolare şi aplicaţii, Risoprint, Cluj-Napoca, 2005. |
| Evaluare |
|
Examen scris şi oral în sesiune. |
| Legaturi: | Syllabus-urile tuturor disciplinelor Versiunea in limba engleza a acestei discipline Versiunea in format rtf a acestei discipline |