Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
FISA DISCIPLINEI
| MMA1018 | Teme de analiză matematică III (pentru perfecţionarea profesorilor) |
| Titularii de disciplina |
Prof. Dr. COBZAS Stefan, scobzas math.ubbcluj.ro |
| Obiective |
|
Aprofundarea unor rezultate referitoare la integralele Riemann si Riemann-Stieltjes cu aplicatii la integrale depinzand de parametri (proprii si improprii). Prezentarea unor rezultate referitoare la seriile Fourier cu aplicatii la calculul sumelor unor serii numerice. Demonstrarea unor rezultate referitoare la derivabilitatea a.p.t. a functiilor monotone si a functiilor absolute continue. |
| Continutul |
|
1. Teorema a doua de medie pentru integrale si aplicatii Teorema a doua de medie pentru integralele Riemann si Riemann-Stieltjes.Teorema a doua de medie pentru integrala Lebesgue.Criteriile lui Abel si Dirichlet de convergenta a integralelor improprii. Formula generalizata de integrare prin parti si transcendenta numerelor e si pi. Media aritmetico-geometrica si formula lui Gauss.
2. Teorema lui Arzela de convergenta dominata si aplicatii Demonstrarea teoremei lui Arzela si compararea cu teorema lui Lebesgue de convergenta dominata. Aplicatii la trecerea la limita sub semnul integralei. 3. Integrale cu parametri - proprii si improprii. Aplicatii ale teoremei lui Arzela la integrale cu parametri - continuitatea, derivarea, integrarea. Exemple de calcul ale unor integrale cu parametri. Integrale improprii cu parametri, calculul unor integrale improprii remarcabile. Aplicarea teoremei reziduurilor la calculul unor integrale improprii. Functiile Beta si Gamma ale lui Euler. 4. Serii Fourier si aplicatii la calculul sumelor unor serii Sistemul trigonometric. Forma complexa a sistemului trigonometric.Coeficienti Fourier. Lema lui Riemann. Dezvoltarea in serie Fourier: completitudinea sistemului trigonometric, convergenta in L2, dezvoltarea in serie Fourier a unor functii elementare. Convergenta uniforma a seriilor Fourier si aplicatii la calculul unor sume de serii. Convergenta punctuala a seriilor Fourier. Scurt istoric de evolutie a seriilor Fourier. Criterii de convergenta punctuala: Dini si Lipschitz, Dirichlet-Jordan, exemple si aplicatii. Transformata Fourier si aplicatii la calculul unor integrale. Aplicarea teoremei reziduurilor la calculul unor transformate Fourier. 5. Functii absolut continue -derivabilitatea a.p.t. si legatura cu integrala Lebesgue Teorema lui Vitali de acoperire. Derivabilitatea a.p.t. a functiilor monotone si a functiilor cu variatie marginita. Diferentiabilitatea seriilor de functii- teorema lui Fubini. Teorema lui Lebesgue de densitate. Derivabilitatea a.p.t. a functiilor absolut continue, legatura cu primitiva. |
| Bibliografie |
|
1. Cobzas, S., Analiza matematica – Calculul diferential, Presa Universitara Clujeana,
Cluj-Napoca 1997 2. Fihtenholt, G. M., Curs de calcul diferential si integral, Volumele 2 si 3, Editura Tehnica, Bucuresti 1963 3. Hewitt, E.; Stromberg, K. Real and abstract analysis, Springer, Berlin 1965 4. Nicolescu, M., Analiza matematica, Vol. 2, Editura Tehnica, Bucuresti 1958 5. Rudin, W. Principles of mathematical analysis , McGraw, Ny 1976 6. Stein, E. M.; Shakarchi, R., Real analysis, Princeton University Press, Vol. 2, Fourier analysis – An introduction ; 2003 Vol. 3, Measure theory, integration and Hilbert spaces, 2005 7. Zuilly, Cl., Elements d’analyse pour aggregation, Masson, Paris 1995 8. Duca, D; Duca, E., Analiza matematica – Culegere de probleme, Editura GIL, Zalau 1999 9. Trif, T., Probleme de calcul diferential si integral in Rn, Casa Cartii de Stiinta, Cluj-Napoca 2003 10. Problemes de preparation a l’agregation mathematiques, Vol. 3. Analyse; Vol. 4. Integration et series de Fourier, Ellipses, Paris 1999 |
| Evaluare |
|
Examen scris 50%; lucrari de control 25%; referate prezentate de studenti 25% |
| Legaturi: | Syllabus-urile tuturor disciplinelor Versiunea in limba engleza a acestei discipline Versiunea in format rtf a acestei discipline |