Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematică şi Informatică
Ciclul de studii: Masterat
FISA DISCIPLINEI
| MMA1005 | Analiză funţională aplicată |
| Titularii de disciplina |
Prof. Dr. COBZAS Stefan, scobzas math.ubbcluj.ro |
| Obiective |
|
Se vor prezenta rezultate referitoare la calculul diferential si integral pentru functii vectoriale, cu aplicatii la diferentiabilitatea functiilor convexe si cu referire la proprietatile de rotunditate si netezime ale spatiilor normate. Se vor aplica aceste proprietati la teoria metrica a punctelor fixe. |
| Continutul |
|
I. Calcul Diferential in Spatii Normate
Diferentialele Gateaux si Frechet - legatura dintre ele, exemple, proprietati, operatii algebrice cu functii diferentiabile. Diferentiala functiei compuse. Diferentiala inversei. Teoreme de medie si consecinte. Derivate directionale si diferentiabilitate Gateaux. Teorema de inversare locala si teorema functiei implicite. Simetria diferentialei de ordinul 2. Aplicatii multiliniare si polinoame. Diferentiale de ordin superior. Formula lui Taylor cu diferite forme ale restului si reciproca ei. Diferentiabilitatea aplicatiei de inversare in algebre Banach si in L(X,Y). Notiunea de spectru intr-o algebra Banach - compactitatea si netrivialitatea sa. Teorema de inversare locala si teorema functiei implicite pentru aplicatii de clasa Ck. Teoreme de inversare globala. Teorema lui Krasnoselski de compactitate a diferentialei Frechet. Conditia ca diferentiala Frechet sa fie o izometrie - teorema lui Baker. Teorema lui Mazur-Ulam de caracterizare a izometriilor bijective. Echivalenta dintre olomorfia slaba si olomorfia tare. II. Diferentiabilitatea Functiilor Convexe Functii convexe - marginire, continuitate si proprietati Lipschitz. Functii semicontinue, continuitatea functiilor convexe semicontinue. Monotonia pantei si existenta derivatelor directionale. Caracterizari ale convexitatii. Subgradienti si subdiferentiale. Diferentiabilitatea Gateaux a functiilor convexe. Teorema lui Mazur de diferentiabilitate Gateaux generica a functiilor convexe pe spatii Banach separabile. Diferentiabilitatea Frechet a functiilor convexe, continuitatea diferentialei Frechet. Teorema lui Asplund-Lindenstraus de diferentiabilitate Frechet generica a functiilor convexe pe spatii Banach cu dual separabil. Spatii Asplund. III. Teoreme de Punct Fix Teorema lui Brouwer de punct fix -demonstratie, propozitii echivalente, extensii. Teoreme de punct fix in spatii infinit dimensionale - exemple referitoare la nevalabilitatea teoremei lui Brouwer. Teorema lui Schauder de punct fix. Aplicatii multivoce. Teoremele lui Kakutani si Ky Fan de punct fix. Metrica Pompeiu-Hausdorff, completitudine. Teorema lui Nadler de punct fix. Teoreme de punct fix pentru aplicatii neexpansive. |
| Bibliografie |
|
Bibliografie la partile I si II
1. Barbu, V.; Precupanu, Th. Convexity and optimization in Banach spaces, D. Reidel Publishing Co., Dordrecht; Editura Academiei Române, Bucuresti, 1986. 2. Fabian, M., et al, Functional analysis and infinite-dimensional geometry, Springer-Verlag, New York, 2001 3. Giles, J. R. , Convex analysis with application in the differentiation of convex functions, Pitman, Boston, Mass.- London, 1982 4. Muntean, I., Analiza functionala – Capitole speciale, Universitatea Babes-Bolyai, 1990. 5. Phelps, R.R., Convex functions, monotone operators and differentiability, Springer-Verlag, Berlin, 1993 6. Precupanu, T., Spatii liniare topologice si elemente de analiza convexa, Editura Academiei Române, Bucuresti, 1992 Bibliografie la partea IIIa 1. Goebel, K.; Kirk, W. A. , Topics in metric fixed point theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1990 2. Istratescu, V. I., Introducere în teoria punctelor fixe, Editura Academiei Române,Bucuresti, 1973 3. Khamsi, M. A.; Kirk, W. A. , An introduction to metric spaces and fixed point theory, Wiley-Interscience, New York, 2001. 4. Rus, I. A., Generalized contractions and applications, Cluj University Press, Cluj-Napoca, 2001. |
| Evaluare |
|
Examen scris, activitatea de la seminar si referate prezentate de studenti |
| Legaturi: | Syllabus-urile tuturor disciplinelor Versiunea in limba engleza a acestei discipline Versiunea in format rtf a acestei discipline |