Universitatea "Babes-Bolyai" Cluj-Napoca
Facultatea de Matematica si Informatica
FISA DISCIPLINEI
| Complemente de analiză matematică |
trul |
|||||
| Cadre didactice indrumatoare |
|
| Obiective |
|
Prezentarea principalelor notiuni si rezultate complementare de analiza matematica. |
| Continut |
|
1. Notiunea de limita pentru functii intre spatii topologice: Notiunea de spatiu topologic, functie de atribuire a sistemelor de vecinatati, spatiu Hausdorff. Topologia intr-un spatiu metric si in axa reala compactificata. Definitia limitei unei functii intre spatii topologice. Unicitatea limitei. Legatura cu calitatea de punct de acumulare a punctului in care se considera limita. Continuitatea functiilor. Limita unei functii compuse.
2. Limite de siruri si legatura acestora cu limitele de functii: Transpunerea in cadrul sirurilor a definitiei limitei unei functii. Teorema lui Heine privind legatura dintre limitele de siruri si cele de functii. Proprietati specifice limitelor de siruri. Caracterizarea convergentei unui sir prin calitatea de sir fundamental. Completitudinea multimii numerelor reale. 3. Siruri generalizate si utilizarea lor in teoria integrarii: Notiunea de sir generalizat. Limita unui sir generalizat. Siruri generalizate monotone si convergenta acestora. Sumele Riemann-Stieltjes privite ca siruri generalizate in raport cu doua dirijari ale multimii diviziunilor Riemann. Sumele lui Darboux privite ca siruri generalizate. Definitia integralelor Riemann-Stieltjes si Darboux-Stieltjes. Legatura dintre ele si multimea functiilor marginite. Conditii de integrabilitate de tip Cauchy pentru integralele Riemann-Stieltjes si Darboux-Stieltjes. Integrala Cauchy-Stieltjes. Integrala Henstock-Kurzweil si Henstock-Kurzweil-Stieltjes. 4. Integrabilitatea Riemann si continuitatea: Multimea punctelor de discontinuitate. Modulul de continuitate. Functii riglate. Cardinalul multimii punctelor de discontinuitate. Functiile monotone sunt riglate. Criteriul lui Lebesgue de integrabilitate Riemann. Orice functie riglata este integrabila Riemann. 5. Primitive si primitive generalizate, legatura cu integrala: Definitia notiunilor de primitiva si primitiva generalizata. Teorema lui Lebesgue privind derivabilitatea integralei inferioare si a integralei superioare. Existenta primitivelor si a primitivelor generalizate. Teorema lui V. Jarnik. Legatura dintre functiile primitivabile si functiile integrabile Kurzweil. Cazul integralei unei functii primitivabile. Cazul integralei unei functii primitivabile in sens generalizat. Cazul integralei Kurzweil. Caracterizarea functiilor primitivabile. |
| Bibliografie |
|
1. BALAZS M., KOLUMBAN : Analiza matematica. Curs litografiat, Facultatea de Matematica, Univ. "Babes-Bolyai".
2. BRECKNER W. W.: Analiza matematica. Topologia spatiului Rn. Cluj-Napoca, Universitatea, 1985. 3. MARUSCIAC : Analiza matematica. Cluj-Napoca, Universitatea "Babes-Bolyai", 1980. |
| Evaluare |
|
Colocviu oral. |