Universitatea "Babes-Bolyai" Cluj-Napoca
Facultatea de Matematica si Informatica
FISA DISCIPLINEI
| Geometria varietăţilor diferenţiabile |
trul |
|||||
| Cadre didactice indrumatoare |
|
| Obiective |
|
Cursul reprezinta o continuare fireasca a cursului "Curbe si Suprafete" din semestrul 2, anul 1, realizand o aprofundare a studiului principalelor obiecte geometrice asociate unei varietati diferentiabile. Seminarul completeaza cu aplicatii, exemple, exercitii si probleme materialul teoretic prezentat la curs. |
| Continut |
|
1. Spatiul R^n din punct de vedere algebric si topologic. Aplicatii diferentiabile. Teorema difeomorfismului local si consecinte. Rangul unei aplicatii diferentiabile. Teorema rangului. Puncte regulare si puncte critice.
2. Notiunea de varietate diferentiabila. Exemple. Proprietati topologice ale varietatilor diferentiabile. Aplicatii diferentiabile intre varietati. Spatiul tangent si aplicatia tangenta. Spatiul cotangent si aplicatia cotangenta. Subvarietati diferentiabile. Imersii, submersii, scufundari. 3. Spatii fibrate. Fibrate vectoriale. Constructii cu fibrate vectoriale. Exemple uzuale. Fibrate diferentiabile local triviale. 4. Campuri de vectori pe o varietate diferentiabila. Notiunea de camp de vectori. Fluxuri globale si locale pe o varietate diferentiabila. Integrabilitatea campurilor de vectori. Problema completitudinii campurilor de vectori. Algebra Lie a campurilor de vectori. 5. Algebrele tensoriala si exterioara ale unei varietati diferentiabile. Tensori pe o varietate diferentiabila. Algebra tensoriala a unei varietati. Forme diferentiabile si algebra exterioara. Derivata Lie si proprietatile acesteia. 6. Conexiuni liniare. Derivata covarianta. Transport paralel. Aplicatia exponentiala si coordonate normale. Tensorii de torsiune si curbura asociati unei conexiuni. |
| Bibliografie |
|
1. AUSLANDER, L. - MACKENZIE, R.E.: Introduction to Differentiable Manifolds, McGraw-Hill, 1963
2. CONLON, L.: Differentiable Manifolds, Birkhauser, 1993 3. DIECK, T.: Topologie, Walter de Gruyter, 1991 4. HIRSCH, M.W.: Differential Topology, Springer, 1976 5. KAHN, D.W.: Introduction to Global Analysis, Academic Press, 1980 6. KOSINSKI, A.: Differential Manifolds, Academic Press, 1993 7. LEE, J.M.: Smooth Manifolds, Springer, 2001 8. MATSUSHIMA, Y.: Differentiable Manifolds, Marcel Dekker, 1972 9. MILNOR, J.W. - Topology from the Differentiable Viewpoint, Princeton University Press, 1997 10. MISHCHENKO, A. - FOMENKO, A.: A course of Differential Geometry and Topology, Mir Publishers, 1988 11. PHAM, F.: Geometrie et calcul differentiel sur les varietes, Dunod, 1999 12. POSTNIKOV, M.M.: Lectures on Geometry, sem. III, Mir Publishers, 1989 13. PRASOLOV, V.V.: Elemente de topologie combinatoriala si diferentiala (în limba rusa), Editura MTNMO, Moscova, 2004 |
| Evaluare |
|
Examen scris si oral. |