| Analiză funcţională (1) |
trul |
|||||
| Cadre didactice indrumatoare |
| Lect. Dr. BRECKNER Brigitte Erika, brigitte@math.ubbcluj.ro Prof. Dr. BRECKNER Wolfgang, breckner@math.ubbcluj.ro Conf. Dr. GOLDNER Gavril, goldner@math.ubbcluj.ro |
| Obiective |
|
Prezentarea notiunilor si rezultatelor fundamentale ale analizei functionale, punându-se accentul pe teoria spatiilor normate. |
| Continut |
|
1. Complemente de teoria spatiilor liniare (4 ore curs + 4 ore seminar)
Spatii liniare, subspatii liniare, învelitoare liniara. Operatori liniari, functionale liniare, legatura dintre functionalele complex-liniare si cele real-liniare. Functii subliniare si seminorme. Prelungirea functionalelor liniare (teorema lui Hahn-Banach, teorema lui Bohnenblust-Sobczyk-Suhomlinov). 2. Spatii liniare topologice (6 ore curs + 14 ore seminar) Notiunea de spatiu liniar topologic. Interiorul si aderenta unei multimi dintr-un spatiu liniar topologic. Spatii multiseminormate. Spatii seminormate. Spatii normate. Multimi compacte in spatii normate. Spatii normate complete. Spatiile normate B(T, K), CB(T, K), C(T, K), l_\infty , c, c_0, l_p. Familii sumabile de puncte ale unui spatiu normat. 3. Spatii prehilbertiene (6 ore curs + 2 ore seminar) Notiunea de spatiu prehilbertian. Spatii Hilbert. Ortogonalitate. Problema celei mai bune aproximari, teorema de descompunere ortogonala a unui spatiu prehilbertian. Familii ortonormale, calculul punctelor de cea mai buna aproximare, procedeul ortonormalizarii lui Gram-Schmidt. Baze ortonormale. 4. Operatori liniari continui (6 ore curs + 4 ore seminar) Caracterizari ale continuitatii operatorilor liniari între spatii multiseminormate. Teorema asupra operatorului deschis. Teorema asupra graficului închis. Spatiul normat al operatorilor liniari continui între spatii normate. Principiul condensarii singularitatilor, principiul marginirii uniforme. Convergenta punctuala a sirurilor de operatori liniari continui. Divergenta sirului operatorilor de interpolare ai lui Lagrange. Rezolvarea ecuatiilor liniare prin metoda aproximatiilor succesive, seria lui C. Neumann asociata unui operator liniar continuu, teorema lui C. Neumann. Izomorfisme topologice între spatii normate. 5. Functionale liniare continue (6 ore curs + 4 ore seminar) Functionale liniare continue pe spatii multiseminormate. Functionale liniare continue pe spatii normate, teoremele lui Hahn. Forma generala a functionalelor liniare continue pe spatiile normate l_p, c, c_0. Adjunctul unui operator liniar continuu. Spatii normate reflexive. Dualul algebrico-topologic al unui spatiu Hilbert. |
| Bibliografie |
|
1. HEUSER H.: Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung. 3. Auflage. B. G.
Teubner, Stuttgart, 1992 2. KANTOROVICI L.V., AKILOV G. P.: Analiză funcţională. Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1986 3. MATHIEU M.: Funktionalanalysis. Ein Arbeitsbuch. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg - Berlin, 1998 4. MUNTEAN I.: Analiza functionala. Universitatea "Babes-Bolyai", Cluj-Napoca, 1993 5. POPA E.: Culegere de probleme de analiza functionala. Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981 6. WERNER D.: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1995 |
| Evaluare |
|
O lucrare de control in timpul semestrului si un examen oral la sfarsitul semestrului. |