Universitatea "Babeş-Bolyai" din Cluj-Napoca

Facultatea de Matematică şi Informatică
FISA DISCIPLINEI

Funcţii convexe Convex functions
Cod
Semes-
trul
Ore: C+S+L
Credite
Tipul
Sectia
MO044
7
2+2+0
6
optionala
Matematică-Informatică
(Mathematics-Computer Science)
MO044
8
2+2+0
8
optionala
Matematică-Informatică
(Mathematics-Computer Science)
MO044
8
2+2+0
7.5
optionala
Matematică
(Mathematics)
Cadre didactice indrumatoare Teaching Staff in Charge
Conf. Dr. SÁNDOR Jozsef, jsandor@math.ubbcluj.ro
Lect. Dr. TRIF Tiberiu Vasile, ttrif@math.ubbcluj.ro
Obiective Aims
Prezentarea unor notiuni si rezultate de baza referitoare la functiile convexe. Realizarea unei introduceri in Analiza convexa, disciplina care se preda studentilor de la masterat.
 The main notions and results concerning the convex functions are presented. By including such topics as convex functions on topological linear spaces, Fenchel conjugate and biconjugate, necessary and sufficient optimality conditions, a milder introduction to Convex Analysis (a master level course) is ensured for those students that will take this course.
Continut
1. Functii convexe de o variabila reala (6 ore curs + 3 ore seminar)
Definitia moderna a convexitatii. Caracterizari ale functiilor convexe de o variabila reala. Proprietati de regularitate ale functiilor convexe de o variabila reala: derivabilitate laterala, continuitate, lipschitzianeitate. Medii si inegalitati intre ele: medii cvasiaritmetice ponderate si compararea acestora, inegalitati de tip Rado-Popoviciu. Teorema de majorare a lui Hardy-Littlewood-Polya, inegalitatea lui Popoviciu si inegalitatea lui Petrovic. Functii Jensen-convexe, functii logaritmic-convexe si functii multiplicativ-convexe.
2. Functii convexe pe spatii vectoriale topologice (12 ore curs + 6 ore seminar)
Definitii si exemple de functii convexe pe spatii vectoriale: functii indicatoare, functii subliniare, functii support, functii afine, forme patratice. Caracterizari ale functiilor convexe. Continuitatea functiilor convexe pe spatii vectoriale topologice: legatura dintre continuitate, lipschitzianeitate si marginirea locala, continuitatea functiilor convexe pe spatii vectoriale topologice finit dimensionale si pe spatii tonelate. Derivabilitatea dupa directii si subdiferentiabilitatea algebrica a functiilor convexe pe spatii vectoriale. Subdiferentiabilitatea functiilor convexe pe spatii vectoriale topologice. Diferentiabilitatea functiilor convexe de mai multe variabile reale.
3. Optimizare convexa (10 ore curs + 5 ore seminar)
Conditii necesare si conditii suficiente de optim in programarea convexa. Conjugata Fenchel si teorema de dualitate a lui Fenchel. Biconjugata Fenchel. Functii convexe inchise, egalitatea unei functii convexe inchise cu biconjugata sa. Dualitate Lagrange.
Bibliografie
1. BORWEIN J. M., LEWIS A. S.: Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Theory and Examples. CMS Books in Mathematics, Springer-Verlag, 2000.
2. BRECKNER W. W.: Introducere in teoria problemelor de optimizare convexa cu restrictii. Editura Dacia, Cluj, 1974.
3. HIRIART-URRUTY J. B., LEMARECHAL C.: Convex Analysis and Minimization Algorithms. Springer-Verlag, 1993.
4. KUCZMA M.: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Panstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa-Krakow-Katowice, 1985.
5. PRECUPANU T.: Spatii liniare topologice si elemente de analiza convexa. Editura Academiei Romane, Bucuresti, 1992.
6. ROBERTS A. W., VARBERG D. E.: Convex Functions. Academic Press, 1973.
7. ROCKAFELLAR R. T.: Convex Analysis. Princeton University Press, 1970.
Evaluare Assessment
Trei lucrari de control in timpul semestrului.
 Three test papers during the semester.