Universitatea "Babeş-Bolyai" din Cluj-Napoca

Facultatea de Matematică şi Informatică
FISA DISCIPLINEI

Spaţii metrice

Metrical spaces

Cod	Semes- trul	Ore: C+S+L	Credite	Tipul	Sectia
MO030	1	2+1+0	5	obligatorie	Matematică-Informatică (Mathematics-Computer Science)
MO030	1	2+1+0	5	obligatorie	Matematica Economica (Mathematics Economics)
MO030	1	2+1+0	5	obligatorie	Informatică (Computer Science)
MO030	1	2+1+0	5	obligatorie	Matematică (Mathematics)

Cadre didactice indrumatoare

Teaching Staff in Charge

Prof. Dr. DUCA Dorel, dduca@math.ubbcluj.ro Prof. Dr. KOLUMBÁN Iosif, kolumban@math.ubbcluj.ro

Obiective	Aims
Cunoasterea topologiei spatiilor metrice.	Getting to know the topology of the metric spaces.

Continut

1. Spatiul metric al multimii numerelor reale: Proprietatile de baza ale multimii numerelor reale. Functia valoare absoluta si distanta in R. Multimi marginite. Infimumul si supremumul unei multimi de numere reale. Structura topologica a lui R. Siruri in R si convergenta lor. Siruri fundamentale si completitudinea spatiului metric al multimii numerelor reale. 2. Spatii metrice: Spatiul euclidian n dimensional Rn. Produs scalar si norme in Rn. Spatiul metric Rn. Siruri in Rn si convergenta lor. Completitudinea spatiului Rn. Multimi marginite in Rn. Notiunea de spatiu metric. Topologia unui spatiu metric. Siruri in spatii metrice si convergenta lor. Notiunea de spatiu metric complet. Multimi compacte si secvential compacte in spatii metrice. Caracterizarea compacitatii in spatiul Rn. Notiunea de spatiu liniar normat. Siruri intr-un spatiu liniar normat si convergenta lor. Spatii Banach. Serii intr-un spatiu Banach si convergenta lor. Caracterizarea seriilor prin criteriul general al lui Cauchy. Serii convergente in norma. Serii de numere reale absolut convergente si semiconvergente. Criterii pentru determinarea naturii unei serii de numere reale. 3. Functii intre spatii metrice: Functii intre spatii metrice si spatii liniare normate. Spatiul B(D) al functiilor marginite. Siruri si serii de functii si convergenta lor punctuala si uniforma. Organizarea spatiului liniar al functiilor marginite ca spatiu Banach. Notiunea de limita intr-un punct a unei functii definite intre spatii metrice. Criterii de existenta a limitei. Limita functiei compuse. Continuitatea functiilor. Cazul limitei si continuitatii unei functii intre spatii euclidiene. Continuitatea functiei limita a unui sir de functii continue uniform convergent si transpunerea proprietatii in cazul seriilor de functii continue. Functii uniform continue, absolut continue, lipschitziene si holderiene. Notiunea de contractie. Teorema de punct fix a lui Banach.

Bibliografie

l. Balazs M., Kolumban I.: Matematikai analizis, Dacia Konyvkiado, Kolozsvar- Napoca, 1978 2. Breckner W.W.: Analiza matematica. Topologia spatiului Rn, Universitatea Cluj-Napoca, 1985 3. Cobzas St.: Analiza matematica (Calculul diferential), Presa Universitara clujeana, Cluj-Napoca, 1997 4. Duca D.I., Duca E.: Culegere de probleme de analiza matematica, l, 2, Editura GIL, Zalau, 1996,1997 4. Marusciac I.: Analiza matematica I: Universitatea Babes-Bolyai, Cluj-Napoca, 1980 5. Siretchi Gh.: Calcul diferential si integral,I, II, Editura stiintifica si enciclopedica, Bucuresti, 1985 6. ***: Analiza matematica, I, Ed. a V-a, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1980

Evaluare	Assessment
Examen scris si oral.	Exam.