| Analiză funcţională (2) | Functional analysis (2) |
trul |
|||||
(Mathematics-Computer Science) |
|||||
(Mathematics) |
| Cadre didactice indrumatoare | Teaching Staff in Charge |
| Prof. Dr. COBZAŞ Stefan, scobzas@math.ubbcluj.ro Conf. Dr. SÁNDOR Jozsef, jsandor@math.ubbcluj.ro |
| Obiective | Aims |
|
Prezentare rezultatelor de baza din teoria spatiilor vectoriale topologice si a celor local convexe si aprofundarea unor rezultate din teoria spatiilor normate, predate in primul semestru. |
To present the basic resultsof the theory of topological vector spaces and of locally convex spaces and to deep some results on normed spaces, taught in the first semester.
|
|
1. Spatii vectoriale topologice (s.v.t.).
Definitie si proprietati fundamentale. Continuitatea aplicatiilor aditive intre spatii vectoriale topologice. Baze de vecinatati ale originii. Functionale liniare si hiperplane in spatii vectoriale topologice. Spatii seminormate. S.v.t. de dimensiune finita-teorema lui Tihonov. Proprietati topologice ale multimilor convexe in s.v.t. Fun-ctia lui Minkovski. Caracterizarea seminormelor. Continuitatea functiei lui Minkowski. Metrizabilitate. Total marginire si compactitate in s.v.t. Nota: La seminarii se vor trata unele chestiuni de topologie generala-introducerea topologiilor cu ajutorul functiilor de vecinatati, siruri generalizate si filtre, produs de spatii topologice. 2.Spatii local convexe (s.l.c). Notiunea de spatiu local convex. Topologia local convexa generata de o familie de seminorme. Baze local convexe. Teorema lui J. von Neumann. Teorema lui Bourbaki de caracterizare a continuitatii functionalelor liniare pe s.l.c. Existenta unor functionale liniare si continue pe s.l.c. Topologii slabe pe spatii normate. Separarea multimilor convexe prin hiperplane inchise. Puncte extremale, teorema lui Krein-Milman. 3. Elemente de teoria distributiilor. Limite inductive de spatii local convex. Spatiul fundamental al functiilor infinit derivabile. Notiunea de distributie. Distributii regulate si distributii singulare, distributii de ordin finit.Topologia spatiului distributiilor., convergenta sirurilor de distributii regulate. Aplicatii la rezolvarea unor ecuatii cu derivate partiale. 4. Teoreme de punct fix. Principiul contractiei-teorema lui Banach de punct fix. Teoreme de punct fix pentru aplicatii neexpansive. Teoremele lui Brouwer, Schauder-Tihonov si Markov-Kakutani. 5. Operatori compacti intre spatii normate. Criteriul lui Arzela-Ascoli de compactitate in C(T). Operatori compacti-proprietati fundamentale. Dualul unui operator. Teorema lui Schauder de compactitate a dualului unui operator compact. Teoria lui Riesz, spectrul unui operator compact. 6. Operatori pe spatii Hilbert. Operatori simetrici, operatori unitari, proiectori, operatori pozitivi. Spectrele operatorilor pe spatii Hilbert. 7. Elemente de calcul diferential si integral in spatii normate. Diferentialele Gateaux si Frechet si legatura dintre ele. Reguli ale calculului diferential in spatii normate. Diferentiala inversei unei aplicatii si teorema de inversare locala. Aplicatii biliniare si diferentiale de ordinul doi. Aplicatii multiliniare si diferentiale de ordin superior. Formula lui Taylor. Integrala Riemann a functiilor cu valori intr-un spatiu normat. Functii vectoriale cu variatie marginita-definitii si legatura intre notiuni. Functii analitice si functii olomorfe vectoriale. Formula lui Cauchy. Echivalenta dintre olomorfia slaba si cea tare. Aplicatii la calculul spectral al operatorilor. |
|
1. Kantorovici L.V. si Akilov G.P., Analiza functionala, Editura Stiinntifica si Enciclopedica, Bucuresti 1986.
2. Muntean I. Analiza functionala, Litografiat Universitatea Babes-Bolyai, Cluj-Napoca 1993. 3. Muntean I., Analiza functionala-Capitole speciale, Litografiat Universitatea Babes-Bolyai, Cluj-Napoca 1990. 4. Schaeffer H.H., Topological vector spaces, MacMilan New York 1966. |
| Evaluare | Assessment |
|
Examen oral. |
Exam. |