Universitatea "Babeş-Bolyai" din Cluj-Napoca

Facultatea de Matematică şi Informatică
FISA DISCIPLINEI

Geometria varietăţilor diferenţiabile Differential manifolds
Cod
Semes-
trul
Ore: C+S+L
Credite
Tipul
Sectia
MG003
4
2+2+0
6
optionala
Matematică-Informatică
(Mathematics-Computer Science)
MG003
4
2+2+0
6
obligatorie
Matematică
(Mathematics)
Cadre didactice indrumatoare Teaching Staff in Charge
Prof. Dr. ANDRICA Dorin, dandrica@math.ubbcluj.ro
Conf. Dr. VARGA Csaba Gyorgy, csvarga@cs.ubbcluj.ro
Obiective Aims
Cursul reprezinta o continuare fireasca a cursului Curbe si Suprafete din semestrul 2, anul 1, realizand o aprofundare a studiului principalelor obiecte geometrice asociate unei varietati diferentiabile. Seminarul completeaza cu aplicatii, exemple, exercitii si probleme materialul teoretic prezentat la curs.
 The course follows in a natural way Curves and Surfaces from second semester in the first year by studying the main geometrical objects associated to a differentiable manifolds. The seminars supply by examples,applications, execices and problems the theoretical material given at the course.
Continut
1. Spatiul R^n din punct de vedere algebric si topologic. Aplicatii diferentiabile. Teorema difeomorfismului local si consecinte. Rangul unei aplicatii diferentiabile. Teorema rangului. Puncte regulare si puncte critice.
2. Notiunea de varietate diferentiabila. Exemple. Proprietati topologice ale varietatilor diferentiabile. Aplicatii diferentiabile intre varietati. Spatiul tangent si aplicatia tangenta. Spatiul cotangent si aplicatia cotangenta. Subvarietati diferentiabile. Imersii, submersii, scufundari.
3. Spatii fibrate. Fibrate vectoriale. Constructii cu fibrate vectoriale. Exemple uzuale. Fibrate diferentiabile local triviale.
4. Campuri de vectori pe o varietate diferentiabila. Notiunea de camp de vectori. Fluxuri globale si locale pe o varietate diferentiabila. Integrabilitatea campurilor de vectori. Problema completitudinii campurilor de vectori. Algebra Lie a campurilor de vectori.
5. Algebrele tensoriala si exterioara ale unei varietati diferentiabile. Tensori pe o varietate diferentiabila. Algebra tensoriala a unei varietati. Forme diferentiabile si algebra exterioara. Derivata Lie si proprietatile acesteia.
6. Conexiuni liniare. Derivata covarianta. Transport paralel. Aplicatia exponentiala si coordonate normale. Tensorii de torsiune si curbura asociati unei conexiuni.
Bibliografie
1. Bredon, G.E., Topology and Geometry, Springer-Verlag, 1993.
2. Enghis, P., Tarina, M., Curs de geometrie diferentiala (lito) Univ. Cluj-Napoca, 1987.
3. Ianus, S., Geometrie diferentiala cu aplicatii in teoria relativitatii, Ed. Academiei, 1983.
Evaluare Assessment
Examen scris si oral.
 Exam.