aprobat în Consiliul facultății din data de 6 februarie 2018

Probele concursului de admitere la doctorat

1. Proba scrisă din aria tematică aleasă de candidat.
2. Interviu în cadrul căruia se analizează preocupările științifice ale candidatului şi tema propusă pentru teza de doctorat.

Candidaţii vor fi admişi pe locurile bugetate (cu frecvenţă şi cu frecvenţă redusă) în limita numărului de locuri alocate şi în funcţie de opţiunile exprimate, pe baza mediilor de concurs. Media de admitere se calculează după cum urmează:

• 40% nota de la proba scrisă.
• 40% nota la interviu.
• 20% media generală de promovare a anilor de studiu la nivel Master/Studii aprofundate sau media de generală de promovare a anilor de studiu la nivel Licență pentru absolvenții învăţământului superior de lungă durată din perioada anterioară aplicării celor trei cicluri Bologna (care nu dețin diplomă de master). În caz de medii egale, departajarea se va face pe baza mediei de la proba scrisă.

Vor fi declaraţi admişi candidaţii care au obţinut cel puțin media 7 (șapte).

Tematica de Algebră

1. Grupuri, subgrupuri, omomorfisme. Teorema lui Lagrange. Subgrupuri normale, grupuri cât. Produse directe și semidirecte de grupuri;
2. Inele, subinele, omomorfisme. Inele de polinoame. Inele de matrice. Ideale, inele cât. Corpuri prime;
3. Inele de fracţii. Corpul fracţiilor unui domeniu de integritate. Construcţia inelului Za numerelor întregi şi a corpului Q a numerelor raţionale;
4. Divizibilitatea în semigrupuri şi inele. Inele factoriale, principale, euclidiene. Congruențe, inelul claselor de resturi modulo n. Aritmetica în inele de polinoame. Ideale prime şi maximale în inele comutative;
5. G-mulţimi. p-grupuri şi teoremele lui Sylow;
6. Subgrupuri caracteristice şi deplin invariante. Centrul unui grup. Subgrupul derivat. Grupuri nilpotente. Grupuri resolubile;
7. Spaţii vectoriale, module și algebre. Module libere. Matricea unei aplicații liniare. Sume directe de module. Module simple și module indecompozabile;
8. Module finit generate peste domenii principale. Teorema factorilor invarianţi. Structura grupurilor abeliene finit generate. Forma normală Jordan a unei matrice;
9. Forme biliniare simetrice și forme hermitiene. Grupuri ortogonale și unitare;
10. Extinderi de corpuri. Corpuri algebric închise. Teorema fundamentală a algebrei;
11. Extinderi normale. Extinderi separabile. Grupul lui Galois. Teorema fundamentală a teoriei lui Galois;
12. Corpuri finite. Teorema lui Wedderburn. Subcorpurile unui corp finit.
13. Produse tensoriale de module si algebre;
14. Categorii, functori, transformari naturale. Functori adjuncti.

Bibliografie

1. I.D. Ion şi N. Radu, Algebră, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.
2. I.D. Ion, C. Niţă, D. Popescu şi N. Radu, Probleme de algebră, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.
3. I. Purdea şi Gh. Pic, Tratat de algebră modernă I, Ed. Academiei, Bucureşti, 1977.
4. I. Purdea, Tratat de algebră modernă II, Ed. Academiei, Bucureşti, 1982.
5. I. Purdea, C. Pelea, Probleme de Algebră ed. II. EIKON, Cluj-Napoca, 2008.
6. A. Marcus, Algebra (în limba maghiară), Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2008, http://math.ubbcluj.ro/~marcus/for_students/marcus_algebra.pdf.
7. P. Aluffi, Algebra: chapter 0. American Mathematical Society, 2009.
8. T.W. Hungerford, Algebra. Springer-Verlag, New York, 2003.
9. N. Jacobson, Basic Algebra I, II. W.H. Freeman & Comp., New York, 1985, 1989.
10. S. Lang, Algebra. Springer-Verlag, New York, 2002.
11. J.J. Rotman, Advanced Modern Algebra. Pearson Education, 2010.

Tematica de Analiză

1. Diferenţiabilitatea funcţiilor reale și vectoriale de variabilă vectorială: diferenţiabilitatea Fréchet, condiţii necesare şi suficiente de diferenţiabilitate, legătura dintre diferenţiabilitate şi continuitate, derivate parţiale, reprezentarea diferenţialei cu ajutorul derivatelor parţiale, diferenţiale şi derivate parţiale de ordin superior, formula lui Taylor;
2. Puncte de optim şi puncte de optim local în spaţiul euclidian Rⁿ: condiţii necesare şi condiţii suficiente pentru punctele de optim, probleme de optim condiţionat (cu legături);
3. Prelungirea funcţionalelor liniare și continue: lema lui Helly, teorema lui Hahn-Banach, teoremele de separare a mulțimilor convexe prin hiperplane;
4. Operatori liniari şi continui între spaţii normate: caracterizări ale continuităţii operatorilor liniari între spaţii normate, teorema asupra operatorului deschis, teorema asupra graficului închis, spaţiul normat al operatorilor liniari continui între spaţii normate

Bibliografie

1. W. Breckner, Analiză funcţională, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2009
2. Şt. Cobzaş Analiză matematică (Calculul diferenţial), Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 1997
3. Finta Zoltán, Matematikai Analízis I-II, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2007
4. Kassay Gábor, Kolumbán József, Marchiş Julianna: Valós Számok és Metrikus Terek, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2005
5. L. Lupşa, L. Blaga, Analiză matematică – Note de curs, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2003
6. I. Muntean, Analiză funcţională, Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca, 1993
7. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, third edition, McGraw-Hill, 1976
8. W. Rudin, Functional Analysis, second edition, McGraw-Hill, 1991

Tematica de Geometrie

1. Varietăți diferențiabile;
2. Câmpuri vectoriale și integrarea lor;
3. Varietăți riemanniene;
4. Rangul unei aplicații diferențiabile. Proprietăți;
5. Mulțimea critică și mulțimea de bifurcație a unei aplicații diferențiabile. Exemple;
6. Subvarietăți și teorema preimaginii. Aplicații;
7. Grupul fundamental al unui spațiu topologic;
8. Calculul grupuiui fundamental;
9. Grupul fundamental al cercului. Aplicații;
10. Teorema Seifert-van Kampen.

Bibliografie

1. D. Andrica, Critical Point Theory and Some Applications, Cluj University Press, Cluj-Napoca, 2005
2. D. Andrica, I.N. Casu, Grupuri Lie,aplicatia exponentiala si mecanica geometrica, Presa Universitara Clujeana, Cluj-Napoca, 2008
3. D. Andrica, C. Pintea, Elemente de teoria omotopiei cu aplicatii la studiul punctelor critice, Editura Mirton, Timisoara, 2002
4. M. Struwe, Variational Methods, Application to Nonlinear Partial Differential Equations and Hamiltonian Systems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York, 1996

Tematica de Analiză Complexă

1. Integrala complexă. Teorema fundamentală a lui Cauchy. Formulele lui Cauchy. Aplicaţii.
2. Puncte singulare isolate. Teorema reziduurilor. Aplicaţii.
3. Funcţii meromorfe. Studiul zerourilor şi polilor funcţiilor meromorfe folosind teoria reziduurilor. Teorema lui Cauchy relativă la zerourile şi polii funcţiilor meromorfe. Aplicaţii.
4. Funcţii univalente. Rezultate generale. Clasa S.
5. Reprezentarea conformă în planul complex. Teorema lui Riemann. Automorfismele conforme ale discului unitate, semiplanului superior, planului complex C. Exemple şi aplicaţii.
6. Funcţii armonice, funcţii subarmonice şi olomorfie în planul complex.

Bibliografie

1. P. Hamburg, P.T. Mocanu, N. Negoescu, Analiză Matematică (Funcţii Complexe), Editura Didacticã şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.
2. G. Kohr, P.T. Mocanu, Capitole Speciale de Analizã Complexã, Presa Universitarã Clujeanã, Cluj-Napoca, 2005.
3. I. Graham, G. Kohr, Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions, Marcel Dekker Inc., New York, 2003.
4. P.T. Mocanu, T. Bulboacă, G.S. Sălăgean, Teoria Geometrică a Funcţiilor Univalente, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2006.
5. J.B. Conway, Functions of One Complex Variable, vol. I, Graduate Texts in Mathematics, 159, Springer Verlag, New York, 1996.
6. S. Krantz, Handbook of Complex Variables, Birkhäuser Verlag, Boston, Basel, Berlin, 1999.
7. W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., Mc. Graw-Hill, 1987.
8. D. Gaşpar, N. Suciu, Analiză Complexă, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1999.

Tematica de Aproximare, calcul numeric şi statistic

1. Polinoame ortogonale. Proprietăţi generale şi clase ortogonale
2. Metode de interpolare. Interpolare polinomială, trigonometrică, spline
3. Integrarea numerică a funcţiilor. Formule de cuadratură de tip Newton – Cotes, Gauss, Cebîşev. Formule optimale
4. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor neliniare. Exemple de metode cu un pas
5. Operatori liniari de aproximare. Teorema Popoviciu – Bohman – Korovkin. Evaluări ale erorii cu module de netezime. Convergenţă uniformă şi convergenţă statistică
6. Metode probabilistice de generare a operatorilor liniari. Scheme aleatoare. Semigrupuri de operatori

Bibliografie

1. T. Cătinaș, I. Chiorean, R. Trîmbițaș, Analiză numerică, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2010
2. D.D. Stancu, Gh. Coman (coordonatori), P. Blaga, Analiză numerică şi Teoria aproximării, vol. II, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2002
3. O. Agratini, P. Blaga, Gh. Coman, Lectures on wavelets, numerical methods and statistics, Casa Cărţii de Ştiinţă, Cluj-Napoca, 2005

Tematica de Operatori neliniari şi ecuaţii diferenţiale

1. Problema lui Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul unu. Existenţa, unicitate, dependenţă continuă de date;
2. Sisteme diferenţiale. Sistemul dinamic generat;
3. Ecuaţii eliptice; teoria clasică. Teorema divergenţei şi formulele lui Green. Soluţia fundamentală a ecuaţiei lui Laplace şi teorema lui Riemann-Green de reprezentare a funcţiilor netede. Teorema de medie a funcţiilor armonice. Principiul de maxim. unicitatea şi dependenţa continuă de date a soluţiei clasice a problemei Dirichlet;
4. Ecuaţii de evoluţie. Principiul de maxim pentru ecuaţia căldurii. Problema mixtă Cauchy-Dirichlet pentru ecuaţia căldurii;
5. Principiul contracţiilor: existenţă, unicitate şi dependenţă de date pentru ecuaţia de punct fix;
6. Aplicaţii ale principiului contracţiilor la ecuaţii diferenţiale şi integrale.

Bibliografie

1. I.A. Rus, Ecuaţii diferenţiale, ecuaţii integrale şi sisteme dinamice, Transilvania Press, 2001.
2. R. Precup, Ecuaţii diferenţiale, Editura Risoprint, 2011.
3. R. Precup, Lecţii de ecuaţii cu derivate parţiale, Presa Universitară Clujeană, 2004.
4. A. Granas, J. Dugundji,  Fixed Point Theory, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

Tematica de Mecanică

1. Cinematica solidului rigid: Ecuaţii de mişcare. Formulele lui Poisson. Distribuţia vitezelor şi acceleraţiilor în corpul solid rigid.
2. Dinamica punctului material şi a sistemelor de puncte materiale. Teoremele generale ale dinamicii sistemelor de puncte materiale.
3. Dinamica solidului rigid. Ecuaţiile dinamice ale lui Euler privind mişcarea solidului rigid cu un punct fix.
4. Cinematica fluidelor: Mediu continuu, fluid, configuraţie, mişcare.
5. Dinamica fluidelor: Principiul conservării masei. Ecuaţia de continuitate. Ecuaţiile lui Cauchy. Ecuaţia constitutivă a fluidului ideal. Ecuaţiile lui Euler.
6. Teoria fluidelor vâscoase Newtoniene: Ecuaţia constitutivǎ şi ecuaţiile Navier-Stokes. Sistemul Stokes. Soluţia fundamentalǎ a sistemului Stokes. Teoreme de unicitate pentru problema Dirichlet asociatǎ sistemului Stokes.

Bibliografie

1. M. Kohr, I. Pop, Viscous Incompressible Flow for Low Reynolds Numbers, WIT Press (Wessex Institute of Technology Press), Southampton (UK) – Boston, 2004.
2. M. Kohr, Capitole Speciale de Mecanică, Presa Universitară Clujeană, Cluj- Napoca, 2005.
3. M. Kohr, Probleme Moderne în Mecanica Fluidelor Vâscoase, Vols. 1, 2, Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2000.
4. K. Dragoş, Mecanica Fluidelor, Vol. I, Ed. Academiei Române, Bucureşti, 1999.
5. H. Goldstein, C. Poole, J. Safko, Classical Mechanics, Reading, MA: Addison-Wessley Publ. Co. (3^rd edition), 2014.
6. C. Truesdell, K.R. Rajagopal, An Introduction to the Mechanics of Fluids, Birkhäuser, Basel, 2000.
7. G.C. Hsiao, W.L. Wendland, Boundary Integral Equations, Springer-Verlag, Heidelberg, 2008.

Tematica Probabilităţi şi modele stochastice

1. Funcţia de repartiţie, funcţia densitate de probabilitate, funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare, respectiv a unui vector aleator;
2. Distribuţia normală n-dimensională;
3. Variabile aleatoare independente;
4. Inegalitatea lui Chebyshev, inegalitatea lui Jensen pentru variabile aleatoare;
5. Convergenţa aproape sigură, convergenţa în probabilitate, convergenţa în repartiţie a unui şir de variabile aleatoare;
6. Legea slabă a numerelor mari; legea tare a numerelor mari;
7. Lanţuri Markov;
8. Procese Poisson.

Bibliografie

1. A. Gut, An intermediate course in probability. Second edition. Springer Texts in Statistics. Springer, New York, 2009
2. A. Klenke, Probability Theory – A Comprehensive Course, Springer Verlag, London, 2008
3. H. Lisei, Probability Theory, Casa Cărţii de Ştiinţă, 2004
4. H. Lisei, W. Grecksch, M. Iancu, Probability: Theory, Examples, Problems, Simulations. World Scientific Publishing, Singapore, 2020
5. F. M. Dekking, C. Kraaikamp, H.P. Lopuhaä, L.E. Meester, A Modern Introduction to Probability and Statistics: Understanding Why and How, Springer, 2005