2013. december 11-én, az intézeti tudományos szeminárium keretében dr. Szántó Csaba egyetemi docens előadására került sor Ringel-Hall algebrák alkalmazásai algebrák reprezentációelméletében címmel.

Absztrakt
Legyen Q egy tegez (irányított gráf) és k egy kommutatív test. Ismert, hogy a véges dimenziós örökletes algebrák tegezek feletti ún. útalgebrák formájában ábrázolhatóak, ezen algebrák moduluskategóriája pedig tegez reprezentációk kategóriájával ekvivalens. Fontos partikuláris esetek ha Q Dynkin típusú (ekkor véges sok nem izomorf felbonthatatlan modulusunk van) és ha Q euklideszi típusú vagy szelíd (ekkor végtelen sok nem izomorf felbonthatatlan van, de ezek parametrizálhatóak).

A többi tegezt vadnak nevezzük, hiszen a felette definiálható moduluskategória felbonthatatlanjai nem parametrizálhatóak teljes mértékben. Legyen most k véges test és tekintjük azt a racionális vektorteret, melynek bázisa modulus-izomorfizmusosztályokból áll. Ha két [X], [Y] osztály szorzatát úgy definiáljuk, hogy az [M] osztály struktúraegyütthatója M azon Y-al izomorf részmodulusait számolja, melyekre a megfelelő faktor izomorf X-el, akkor megkapjuk a H(kQ) Ringel-Hall algebrát.

Ezen algebra kiemelkedő jelentőségű, hiszen segítségével lehetővé vált a reprezentációelmélet, illetve partíciókombinatorika eszköztárának felhasználása kvantumcsoportok elméletében, cluster algebrák elméletében és különféle fontos algebrai geometriai problémák tisztázásában.